【中考数学】分类讨论思想在抛物线压轴题中的应用

分类讨论思想在初中数学中经常用来探究和解决问题，帮助学生更好地理解和解决问题，并能帮助学生把握解题的思路和技巧，做到举一反三，从而有利于培养学生的学习兴趣，使他们从数学学习中获得乐趣，所以我们这次主要针对特殊三角形、特殊四边形、三角形相似的存在性问题进行分类讨论，so，别眨眼，看仔细了！

昨日更新有误，今日修正重新发布。

说考情

二次函数与几何图形综合题每年23题必考，分类讨论等腰三角形、等腰直角三角形、三角形相似、特殊四边形的存在性问题，是河南中考的常考题型。

说解法

一、等腰三角形的存在问题分类讨论

1. 假设结论成立；

2. 找点：当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论，具体方法如下：

① 当定长为腰时，找已知条件上满足直线的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与坐标轴或抛物有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与坐标轴或抛物线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；

② 当定长为底边时，根据尺规作图作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线有交点时，那交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与坐标轴或抛物线无交点时，满足条件的点不存在；以上方法即可找出所有符合条件的点.

3. 计算：在求点坐标时，大多时候利用相似三角形求解，如果图形中没有相似三角形，可以通过添加辅线构造相似三角形，有时也可利用直角三角形的性质进行求解.

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二、直角三角形的存在问题分类讨论

1. 设出所求点的坐标，用变量表示出所求三角形三边的长的平方的代数式，如本题，设点F（1，f），△BCF三边长为：BF²＝4＋f²，CF²=f²+6f+10，BC=18；

2. 找点：根据直角顶点的不确定性，分情况讨论：

① 当定长（已知的两个点连线所成的线段）为直角三角形的直边时（如本题（4）中的边BC），分别过定长的某一端点（B和C）做其垂线，与所求点满足的直线或抛物线（本题是抛物线对称轴）有交点时，此交点即为符合条件的点；

② 当定长为直角角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所有点满足条件的直线或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点.

3. 计算：把图形中的点的坐标用含有自变量的代数式表示出来，从而表示出三角形各边（表示线段时，注意代数式的符号），再利用相似三角形得比例线段关系或利用勾股定理进行计算.

三、平行四边形的存在问题分类讨论

1. 假设结论成立；

2. 找点：探究平行四边形的存在性问题，一般是已知两定点求未知点坐标，此时可以分两种情况，分别以这两点所构成的线段为边和对角线来讨论：①以这两点所构成线段为边时，可以利用平行四边形对边平行且相等，画出符合题意的图形；②以这两点所构成线段为对角线时，则该线段的中点为平行四边形对角线的交点，结合抛物线的对称性，画出符合题意的图形；

3. 建立关系式，并计算. 根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用抛物线的对称性、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解.

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特殊平行四边形的存在性，一般可按下面方式转化：

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四、三角形相似的存在问题分类讨论

1. 确定已知三角形的特征，即三边的长度、内角的度数；

2. 确定动态三角形中的固定因素，即其是否存在与已知三角形相等的角；

3. 确定动态三角形与已知三角形相等角的两个边的代数式，一般用顶点的参数（横坐标）表示出动态三角形各边的长度；

4. 利用“对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，分两种情况讨论确定动点未知，列出方程求解，若方程有解，即可确定动点位置，相似三角形存在；若方程无解，则动点不存在，相似三角形不存在.

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做练习

声明：本文内容改编整理自“万唯中考”官方微信。相关链接为之前原创文章。

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